RICERCA ITALIANA     

Identità polinomiali e metodi combinatori

Università degli Studi di Palermo

Abstract

Obiettivo primario del progetto di ricerca è quello di studiare le identità polinomiali soddisfatte da un'algebra su un campo di caratteristica zero utilizzando metodi e risultati pertinenti alla teoria delle rappresentazioni dei gruppi simmetrici e lineari, alla combinatoria algebrica, alla teoria degli invarianti. Tale approccio che ha permesso di sviluppare la teoria e di raggiungere risultati di notevole rilievo è basato soprattutto sulla teoria delle varietà sviluppata da Kemer ed un ruolo fondamentale è giocato dalle superalgebre e dalle loro identità. Questo approccio alla teoria delle identità polinomiali è stato introdotto e sviluppato principalmente da Berele, Drensky, Formanek, Kemer, Procesi, Razmyslov e Regev.
Si intende inoltre sviluppare ulteriormente la piena efficacia della versione superalgebrica del metodo delle "variabili virtuali" di Capelli, nella prospettiva di ottenere risultati di decomposizione per certe classi di "algebre pletistiche"; ci si propone anche di fornire contributi alla "teoria costruttiva degli invarianti" per i gruppi classici, con particolare riferimento all'estensione del metodo dei trasvettanti, alla generalizzazione del metodo simbolico all'anello delle funzioni polinomiali su moduli Schur/Weyl qualsiasi ed alla teoria delle rappresentazioni di gruppi finiti di riflessioni su algebre polinomiali.
Questo programma comportera' anche studi dettagliati di specifiche >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Antonino Giambruno Università degli Studi di PALERMO

Obiettivo del Programma di Ricerca

Gli obiettivi finali che il progetto si propone di raggiungere nei vari ambiti specifici sono i seguenti:

Calcolo dell’esponente delle varietà: estendere la classificazione delle varietà determinate da polinomi di Capelli e di Amitsur alle varietà minimali. In quest’ambito cercheremo di determinare un legame più stretto esistente tra una varietà arbitraria e le varietà minimali aventi lo stesso esponente.
Classificazione delle varietà a crescita polinomiale: estendere la classificazione recentemente ottenuta delle varietà a crescita lineare e delle sottovarietà della varietà generata dall’algebra di Grassmann o dall’algebra delle matrici 2 x 2 triangolari superiori a crescite superiori ed in particolare affrontare una congettura che asserisce che da un opportuno valore della crescita polinomiale (>6?) la lista di algebre caratterizzanti le varietà non è più finita.
Crescita delle codimensioni di Lie e delle codimensioni proprie: determinare se i limiti delle successioni {c_n^p(A)^(1/n)} e {c_n^L(A)^(1/n)} esistono e sono interi. E’ nostra intenzione affrontare tale problema cercando di risolverlo per algebre finitamente generate ed in generale nel caso delle successioni delle codimensioni proprie.
Algebre non associative e crescita esponenziale: studiare le algebre non associative di dimensione finita cercando di classificare la loro crescita esponenziale (è un intero?). In particolare per algebre di Jordan semplici l’esponente >>>

Risultati parziali attesi

Tenuto conto degli obiettivi finali che il progetto si propone di raggiungere, i risultati attesi rappresentano un apporto significativo alla teoria combinatoria delle algebre con identità polinomiale e a vari aspetti della combinatoria algebrica e sue applicazioni. I risultati attesi possono essere descritti come segue.

1) Nel calcolo asintotico della successione delle codimensioni di un’algebra associativa, si cercherà di ottenere ulteriori informazioni sulle varietà legate all’esponente. In particolare, dato un T-ideale dell’algebra libera per generatori, si cercherà di determinare l’esponente della varietà associata in alcuni casi notevoli. Poiché è stato determinato una uguaglianza asintotica tra la successione delle codimensioni di varietà di questo tipo con specifici generatori (identità standard, identità di Capelli, identità di Amitsur) e la successione delle codimensioni di un’algebra di matrici,è nostra intenzione in questo progetto estendere questa classificazione alle varietà minimali.

2) Partendo dalla classificazione esplicita, a meno di PI-equivalenza, di tutte le algebre a crescita delle codimensioni al più lineare e dalla classificazione delle sottovarietà di var(G) e di var(UT_2), tra i risultati attesi si annovera quello di estendere questi risultati a crescite superiori. In particolare cercheremo di affrontare una congettura che asserisce che da un opportuno valore della crescita polinomiale (>6?) la lista di algebre >>>

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La teoria delle rappresentazioni del gruppo simmetrico è stata utilizzata fin dai primi anni 70 per studiare i T-ideali dell'algebra libera associativa; questo metodo è stato sviluppato in caratteristica zero da Regev, Kemer, Procesi, Razmyslov, Amitsur, Berele, Drensky ed altri. La teoria delle algebre di Lie con identità polinomiali è stata sviluppata dalla scuola di Mosca da Bahturin, Zaicev, Mishchenko, Petrogradsky, Razmyslov ed altri (cfr. Y. Bahturin, A. A. Mikhalev, V. Petrogradsky, M. Zaicev, Infinite Dimesional Lie Superalgebras, Walter de Gruyter, Berlin, 1992).

Lo studio del comportamento asintotico della successione delle codimensioni per algebre associative è stato iniziato da Regev (Existence of identities in A x B, Israel J. Math. 11 (1972), 131-152). Il teorema che asserisce che ogni varietà propria ha crescita esponenziale intera ed il suo calcolo esplicito è dovuto a Giambruno e Zaicev (On codimension growth of finitely generated associative algebras, Adv. Math. 140 (1998), 145-155; Exponential codimension growth of PI-algebras: an exact estimate, Adv. Math., 142 (1999), 221-243). L’introduzione dell’esponente e le metodologie utilizzate hanno permesso lo studio delle crescita esponenziale dei polinomi. Tale studio è stato iniziato da Berele and Regev (Exponential growth for codimensions of some p.i. algebras. J. Algebra 241 (2001), 118-145). Lo studio delle varietà a crescita polinomiale è stato iniziato da Kemer (T-ideals with >>>