RICERCA ITALIANA     

Teoria dei Modelli, Teoria degli Insiemi e Applicazioni

Università degli Studi di Camerino

Abstract

Sin dalla loro nascita Teoria dei Modelli e Teoria degli Insiemi hanno prodotto significative applicazioni in Algebra e Geometria. Ad esempio il problema della decidibilità, o l’apertura di nuove prospettive non-standard seguita ai teoremi di completezza e compattezza hanno spesso prodotto importanti progressi nella classificazione delle strutture algebriche e geometriche, chiarendo se e quando essa è possibile, e fornendo concetti e strumenti per compierla. Il progetto intende considerare alcune di queste applicazioni di Teoria dei Modelli e Teoria degli Insiemi ad Algebra, Geometria e anche Analisi. In dettaglio gli argomenti che vogliamo affrontare sono i seguenti:

1) O-minimalità (gruppi definibili in strutture o-minimali, esponenziazione reale)
2) Metodi di Teoria dei Modelli nello studio dei Moduli (classificazione dei moduli su anelli commutative Noetheriani, su algebre di Lie e su piani quantici)
3) Metodi non standard in Algebra, Analisi e Teoria degli Insiemi
4) Metodi di Classificazione in Teoria Descrittiva degli Insiemi (classificazione di insiemi, relazioni di equivalenza e preordini naturali)
5) Metodi di Teoria degli Insiemi in Topologia.

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Carlo Toffalori Università degli Studi di CAMERINO

Obiettivo del Programma di Ricerca

Il progetto studia le applicazioni di Teoria dei Modelli TM e Teoria degli Insiemi TI ad Algebra, Geometria ed Analisi. Puntiamo a produrre genuini e significativi progressi in questi settori, ad esempio
- in Geometria Algebrica (nell’analisi dei gruppi definibili nelle strutture o-minimali col conseguente collegamento con i gruppi di Lie),
- in Teoria della Rappresentazione e in Teoria dei Moduli (in particolare a proposito di certe rappresentazioni della algebre di Lie, o dei moduli su un anello commutativo Noetheriano).
Ma vogliamo anche approfondire aspetti più teorici, legati ad esempio al tema della classificazione delle strutture matematiche, ai fondamenti dei metodi e modelli non standard e al reale contenuto di vari principi di Topologia e TI.
I settori principali del nostro programma sono:

1) O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
2) Metodi di TM in algebra dei Moduli e Teoria della Rappresentazione
3) Metodi nonstandard in Algebra, Analisi e TI
4) Metodi di classificazione in Teoria Descrittiva degli Insiemi
5) Metodi di TI in Topologia.

Altri argomenti di ricerca, ancora legati al tema generale, sono descritti nei progetti delle singole unità. Commentiamo qui i 5 punti sopra elencati.

In 1, vogliamo anzitutto approfondire il legame tra un gruppo definibilmente compatto in una struttura o-minimale saturata e il gruppo di Lie reale >>>

Risultati parziali attesi

Gli argomenti della nostra ricerca sono già stati presentati in generale e commentati al punto “Articolazione del Progetto e Tempi di Realizzazione”. Elenchiamo qui i risultati specifici attesi, suddivisi secondo i 5 argomenti principali del programma. Si usano le consuete abbreviazioni, TM per Teoria dei Modelli, TI per Teoria degli Insiemi.

1) O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
2) Metodi di TM per Moduli e Teoria della Rappresentazione
3) Metodi nonstandard in Analisi, Algebra e TI
4) Metodi di Classificazione in Teoria Descrittiva degli Insiemi (TDI)
5) Metodi di TI in Topologia.

Discutiamo anche il loro interesse per l’avanzamento della conoscenza e le loro potenzialità applicative.


1) O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
a) Gruppi definibili in una struttura o-minimale.
- Studio della relazione tra un gruppo G definibilmente compatto in una struttura saturata o-minimale e il gruppo di Lie G/G00 che gli viene canonicamente associato, confronto dei loro invarianti coomologici e omotopici
- G00 è coomologicamente ciclico?
b) Coomologia di fascio degli insiemi definibili in un’espansione o-minimale di un gruppo ordinato: analisi per insiemi non definibilmente compatti.
c) La completezza definibile
- Il suo ruolo nella prova della o-minimalità dell'esponenziazione reale
- Una >>>

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Il nostro programma studia le applicazioni della Teoria dei Modelli TM e della Teoria degli Insiemi TI ad Algebra, Geometria, Analisi. Queste interazioni risalgono alla genesi stessa di TM e TI. Si pensi ad esempio alla stessa Ipotesi del Continuo, e più in generale a quanti dei 23 problemi di Hilbert del 1900 riguardano la Logica Matematica, o sono stati risolti con metodi di Logica Matematica. L’anno scorso è stato celebrato il centenario della nascita di Gödel. I suoi teoremi di Incompletezza del 1931 e, ancora prima, i Teoremi di Completezza e Compattezza da lui provati tra il 1930 e il 1931 aprirono nuove prospettive anche nella ricerca in Algebra e Geometria, grazie alla costruzione di modelli esotici “nonstandard”. Tra queste applicazioni possiamo citare il classico esempio della soluzione di Ax, Kochen ed Ersov della congettura di Artin sugli zeri dei polinomi omogenei sui campi p-adici; oppure la via non standard all’Analisi tracciata da Abraham Robinson ed altri (un approccio discusso, forse appesantito da troppi preliminari logici, e tuttavia pienamente corrispondente alle intuizioni originarie di Leibniz e capace di coinvolgere rigorosamente anche gli elementi infinitesimi). Negli ultimi anni metodi e concetti di TM e TI hanno acquistato importanza sempre crescente, ad esempio in Geometria Diofantea, Geometria Analitica Reale, Analisi Reale, Teoria dei Moduli, Teoria della Rappresentazione, Analisi Funzionale, Topologia. Lungi dall’ingabbiare la libertà della >>>