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INIZIO_TESTO_DA_INDICIZZARE

PROGRAMMA DI RICERCA 2007

italiano - english
Unità di Ricerca
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Classificazione scientifico-disciplinare
Classificazione brevettuale
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  • PHYSICS
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    • MEASURING (counting G06M); TESTING
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Classificazione geografica
Parole Chiave
ALGEBRA COMMUTATIVA, ALGEBRA COMBINATORIA, ALGEBRA COMPUTAZIONALE

ALGEBRA COMMUTATIVA COMBINATORIA E COMPUTAZIONALE

Università degli Studi di Genova
Abstract
Il progetto nasce dall'idea di unire le competenze dei ricercatori coinvolti con lo scopo di raggiungere i seguenti obiettivi:

1) portare avanti le ricerche teoriche in Algebra Commutativa, Combinatorica e Computazionale.

2) approfondire ed allargare le conoscenze in questi campi per scoprire e concretizzare nuove ed inesplorate applicazioni a problemi ed ambiti non necessariamente matematici.

Relativamente al primo obiettivo, vogliamo sviluppare le nostre ricerche su tematiche di base e centrali in Algebra Commutativa, Combinatorica e Computazionale e le loro relazioni con la Geometria Algebrica. Siamo principalmente interessati allo studio delle funzioni di Hilbert, delle risoluzioni libere, delle algebre di scoppiamento, degli schemi di bassa dimensione e dei polinomi di Kazhdan-Lusztig.

Le nostre ricerche sono basate su una profonda e sistematica analisi di esempi e modelli. Questo approccio usa pesantemente sistemi di Calcolo simbolico e, di conseguenza, algoritmi altamente specializzati. Il nostro gruppo ha creato e sviluppato da tempo il sistema di calcolo simbolico CoCoA ed e' coinvolto ad alto livello nella realizzazione di nuovi algoritmi.

Relativamente al secondo obiettivo, le interazioni fra la parte teorica e quella computazionale ci hanno gia' portato alla scoperta di nuove applicazioni. E' nostra intenzione continuare su questa linea ed usare sofisticati metodi >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Giuseppe Valla Università degli Studi di GENOVA
Obiettivo del Programma di Ricerca
I principali obiettivi del progetto sono: 
 
1) proseguire le ricerche su temi di base e che sono centrali nell'ambito dell'Algebra Commutativa, Combinatorica e Computazionale (rimandiamo ai Modelli B per i dettagli) 

2) scoprire applicazioni dell'Algebra Commutativa, Combinatorica e Computazionale ad altre discipline matematiche come la Geometria Algebrica e la Statistica, ma anche a  problemi che provengono dal ``mondo reale". 
 
3) introdurre e formare giovani studiosi nei campi di ricerca in questione. 

4) rafforzare la cooperazione fra i ricercatori aderenti al progetto, al fine di formare un gruppo di ricerca che sia un punto di riferimento nel settore. 
 
Gli argomenti delle nostre ricerchei sono attualmente fra i piu' importanti nell'ambito dell'Algebra Commutativa, Combinatorica e Computazionale.  
Il nostro scopo e' affrontare congetture e problemi aperti da tempo e cercare di risolverli usando le diverse competenze presenti nei vari nodi. 

Uno strumento essenziale per le realizzazione del progetto e' il sistema di calcolo simbolico CoCoA. Lo studio di nuovi algoritmi ed implementazioni sara' dunque una necessita' irrinunciabile.
E' chiaro allora che il raggiungimento degli scopi del progetto risulterebbe impossibile senza l'interazione fra gli aspetti teorici e quelli computazionali. 
 
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Risultati parziali attesi
Come gia' ampiamente riferito, lo scopo principale del progetto consiste nel provare nuovi risultati in Algebra Commutativa, Combinatorica e Computazionale. In questa sezione descriviamo con maggior dettagli i risultati aspettati delle nostre ricerche. Nel caso esistano, ne descriveremo le possibili applicazioni.

La nostra recente esperienza suggerisce che se si vuole esportare "nel mondo reale" la nostra ricerca, sono necessarie nuove definizioni, teoremi e algoritmi che ci permettano di combinare dati inesatti con metodi che per tradizione sono esatti.
Questa ricerca si e' resa necessaria per l'interesse dimostrato da una importante societa' petrolifera verso le attivita' del nostro progetto. Infatti i problemi proposti comportavano la manipolazione di polinomi con coefficienti approssimati, che nascono da misure empiriche.

Vorremmo ulteriormente precisare che il progetto ha un orientamento metodologico e quindi sovente si individuano applicazioni inaspettate mentre altre, che parevano promettenti, devono essere abbandonate perche' non ulteriormente sviluppabili.

Descriviamo ora i risultati attesi suddividendoli, per comodita', nelle tre parti del progetto.

ALGEBRA COMMUTATIVA COMPUTAZIONALE.

-Per quel che riguarda CoCoALib e' nostro intendimento offrire implementazioni di riferimento degli algoritmi principali in CoCoA. Lo sviluppo della >>>

Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
L'Algebra Commutativa studia gli anelli commutativi Noetheriani e i loro moduli. Divenne un settore autonomo della Matematica intorno al 1930 dopo il lavoro fondamentale di Richard Dedekind, David Hilbert e Emmy Noether, e, più tardi di Wolfgang Krull, Oscar Zariski e Masayoshi Nagata. L'importanza e la vitalità della Algebra Commutativa è attestata dall'esistenza di un codice nello schema di classificazione AMS (13) e di una sezione di Arxiv (AC) ad essa dedicati, come pure da vari eventi, come ad esempio il programma annuale nel 2003 presso MSRI e varie conferenze internazionali ad Oberwolfach, Luminy, Banff, incentrate sull'Algebra Commutativa e argomenti correlati.

L'Algebra Commutativa e' nata dalla Teoria degli Invarianti, dalla Geometria Algebrica e dalla Teoria Algebrica dei Numeri, e uno dei suoi scopi principali è ancora quello di sviluppare strumenti algebrici per queste teorie. A fianco di questi aspetti più teorici, il punto di vista algoritmico e' diventato una questione centrale nell'Algebra Commutativa negli ultimi quarant'anni. Questo sviluppo ha dato vita e quella che ora è chiamata Algebra Commutativa Computazionale. In particolare la tecnica delle basi di Groebner ha protato ad algoritmi potenti e versatili che sono usati in molte branche della Matematica pura e che continuano a trovare nuove applicazioni nelle Scienze, nella Tecnologia e nell'Economia.

L'Algebra >>>