RICERCA ITALIANA     

Anelli, algebre, moduli e categorie.

Università degli Studi di Padova

Abstract

Il nostro programma di ricerca si sviluppera' in due direzioni principali: Moduli e categorie additive; Algebre di Hopf.

1) MODULI E CATEGORIE ADDITIVE.

A) Decomposizioni in somma diretta di moduli.
Si studiera’ la problematica affrontata con successo da Puninski e Prihoda per i moduli uniseriali cercando di estenderne i risultati al caso di moduli ciclicamente presentati su di un anello locale. Si studierà quindi se è vero che ogni modulo RD-proiettivo su di un anello locale è somma diretta di moduli ciclicamente presentati, almeno nel caso dei moduli finitamente generati. Si cercherà poi un analogo del teorema debole di Krull-Schmidt gia' dimostrato per le somme dirette finite di moduli ciclicamente presentati, che sia valido anche per le somme dirette arbitrarie. Cercheremo poi di estendere i risultati al caso di anelli semiperfetti.
B) Teoria tilting e categorie derivate.
Il risultato sul tipo finito dei moduli tilting suggerisce di studiare le equivalenze indotte da un modulo tilting T infinitamente generato analizzando il comportamento del funtore derivato totale associato a T e caratterizzandone l’immagine.
Un’ altra conseguenza e' che le classi di torsione tilting sono definibili e sono classi di divisibilita’ rispetto ad una famiglia di morfismi tra moduli proiettivi.
Si intende pertanto investigare la relazione tra le classi di torsione tilting e le categorie dei moduli sulla >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Alberto Facchini Università degli Studi di PADOVA

Obiettivo del Programma di Ricerca

Elenchiamo gli obiettivi per ciascuno dei nostri argomenti di ricerca.

1) MODULI E CATEGORIE ADDITIVE.

A) Decomposizioni in somma diretta di moduli.
Lo scopo e' di estendere tutta la problematica affrontata con successo da Puninski e Prihoda per i moduli uniseriali al caso dei moduli ciclicamente presentati su di un anello locale. Si cercherà un analogo del teorema debole di Krull-Schmidt, gia' dimostrato nel caso di somme dirette finite di moduli ciclicamente presentati, che sia valido anche per le somme dirette arbitrarie. Un altro scopo e' quello di trovare per i moduli ciclicamente presentati il concetto analogo a quello di modulo quasi-small per moduli uniseriali. Si cercherà poi di estendere il lavoro di Amini, Amini e Facchini dal caso degli anelli locali a quello degli anelli semiperfetti.
B) Teoria tilting e categorie derivate.
Il nostro scopo e' di studiare le equivalenze indotte da un modulo tilting infinitamente generato a livello di categorie derivate analizzando dapprima il comportamento del funtore derivato totale associato al modulo e successivamente cercando di caratterizzarne l’immagine.
Intendiamo analizzare la relazione tra le classi di torsione tilting e le categorie dei moduli sulla localizzazione universale nel senso di Cohn e di Schofield con lo scopo di trovare possibili costruzioni esplicite degli oggetti tilting e di chiarire quanto generale e' la costruzione di >>>

Risultati parziali attesi

Per ogni filone di ricerca elenchiamo cio' che ci aspettiamo di essere in grado di dimostrare.

1) MODULI E CATEGORIE ADDITIVE.

A) Decomposizioni in somma diretta di moduli.
Stabiliremo se è vero che ogni modulo RD-proiettivo su di un anello locale è somma diretta di moduli ciclicamente presentati, almeno nel caso dei moduli RD-proiettivi finitamente generati. Ci aspettiamo di generalizzare al caso di somme dirette arbitrarie, il teorema debole di Krull-Schmidt dimostrato da Amini, Amini e Facchini per le somme dirette finite di moduli ciclicamente presentati. Estenderemo poi il lavoro di Amini, Amini e Facchini dal caso degli anelli locali a quello degli anelli semiperfetti.
B) Teoria tilting e categorie derivate.
Happel ha dimostrato che un modulo tilting su un'algebra di dimensione finita induce una equivalenza triangolare tra la categoria derivata bounded dei moduli finitamente generati sull'algebra e la categoria derivata bounded dei moduli finitamente generati sull' algebra degli endomorfismi del modulo tilting. Grazie al risultato sul tipo finito dei moduli tilting (dimostrato da Bazzoni, Herbera, Stovicek), stabiliremo se un modulo tilting infinitamente generato su un anello arbitrario induce una equivalenza tra la categoria derivata dei moduli sull' anello e una opportuna categoria quoziente della categoria derivata dei moduli sull'anello degli endomorfismi del modulo tilting.
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Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

1) MODULI E CATEGORIE ADDITIVE.

I riferimenti bibliografici per i temi descritti in 1) sono elencati al punto 12) del MODELLO B dell'unita' di Padova e al punto 12) del MODELLO B dell'unita' di Verona.

A) Decomposizioni in somma diretta dei moduli.
Nell’ultimo decennio sono stati ottenuti interessanti risultati sulle decomposizioni in somma diretta dei moduli seriali, ossia delle somme dirette di moduli uniseriali. Si tratta di risultati dovuti essenzialmente a Facchini [F2], Puninski e Prihoda [DPP]. Le tecniche necessarie coinvolgono soprattutto i concetti di appartenere alla stessa classe di monogenia e alla stessa classe di epigenia, due concetti che sono uno il duale dell’altro. Recentissimamente Amini, Amini e Facchini hanno dimostrato che le tecniche introdotte da Facchini nel suo primo lavoro sui Trans. Amer. Math. Soc. [F1] su questo tema, lavoro che introdusse l’intero tema di ricerca, può essere utilizzato pari pari per lo studio delle decomposizioni in somma diretta dei moduli che sono somme dirette finite di moduli ciclicamente presentati su di un anello locale. L’unica differenza è che, in luogo di utilizzare come duale di appartenere alla stessa classe di epigenia il concetto di appartenere alla stessa classe di monogenia, si deve utilizzare come duale di appartenere alla stessa classe di epigenia il concetto di avere la stessa parte inferiore. Le due nozioni sono una la duale dell’altra nel senso >>>