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L'Unità di Ricerca intende affrontare simultaneamente le tre tematiche introdotte al punto 2.4 secondo il seguente programma. (I) METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI FUNZIONALI ALLE DERIVATE PARZIALI Si svilupperanno metodi numerici per problemi iniziali di equazioni differenziali funzionali ritardate astratte del tipo u'(t)=Au(t)+f(t,u_t), (1) dove A è un operatore lineare illimitato su uno spazio di Banach, f è una mappa non lineare a valori nello spazio di Banach e u_t denota la funzione u_t(s)=u(t+s), s<=0. A questa classe di equazioni differenziali appartengono, ad esempio, equazioni di reazione-diffusione con ritardi nel termine di reazione (in questo caso A è il Laplaciano). I metodi numerici saranno definiti a partire da metodi per il problema lineare v'(t)=Av(t), (2) dove si assume che (2) è un problema "piu' facile" di (1). L'idea è quella di considerare la formula di variazione delle costanti per (1), che fornisce la soluzione in termini di un integrale di convoluzione che coinvolge l'operatore soluzione del problema (2), e poi di usare un metodo Runge-Kutta per equazioni differenziali funzionali ritardate u'(t)=f(t,u_t) per discretizzare la formula di variazione delle costanti. Il metodo opererà quindi solo una discretizzazione dell'integrale di convoluzione lasciando libera la scelta di quale metodo numerico utilizzare per calcolare i valori dell'operatore soluzione. Se la f è non-stiff questo approccio permette di separare la parte stiff insita nell'operatore A (e trattata numericamente dal metodo per (2)) dalla parte non-stiff e di costruire metodi che usano la funzione f solo in modo esplicito. (II) CODICI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI CON RITARDO Si intende sviluppare una nuova versione del codice RADAR5. Le linee di sviluppo principali su cui si intende concentrarsi sono tre. La prima riguarda strategie di controllo dell'errore in relazione alle discontinuità che caratterizzano le soluzioni (e/o le loro derivate) di equazioni con ritardo. In particolare, avendo a che fare con equazioni in forma implicita del tipo M u'(t) = f(t,u(t),u(alpha(t,u(t))) (3) (con M matrice fissata, eventualmente singolare, e alpha(t,u(t))≤t) le discontinuità sono critiche, nel senso che possono propagarsi senza alcun effetto di regolarizzazione. Le procedure che si studieranno e che si intendono implementare sono basate sul confronto delle componenti discreta e continua dell'errore e sull'analisi del residuo M u' – f (come strumenti di individuazione dei punti non regolari). Lo scopo è quello di rendere il codice più efficiente, da un lato minimizzando il numero di passi e dall'altro riducendo l'errore globale. Una seconda linea di sviluppo riguarderà la gestione della memoria, che è un punto di particolare importanza nell'integrazione di problemi con ritardo non limitato (problemi con memoria infinita). Per tali problemi, strategie che consentano un utitilizzo ottimale della memoria e che consentano di sfruttare la presenza di informazioni a priori e di una eventuale particolare struttura del sistema (3) verranno progettate ed in parte implementate nella prossima versione del codice. Infine, una terza linea di sviluppo di particolare interesse scientifico consisterà nell'ottimizzazione del codice applicato a problemi con struttura, per esempio sistemi derivanti dalla semi-discretizzazione spaziale di equazioni alle derivate parziali di tipo evolutivo (come l'equazione di Hutchinson che è nella forma (1)). La parte cruciale del codice su cui operare è quella legata all'iterazione non lineare (e alle routine di algebra lineare coinvolte) necessaria per la soluzione delle equazioni associate al metodo di Radau. Da un lato è importante consentire alle procedure di sfruttare, quando possibile, la struttura algebrica del sistema, e dall'altro è essenziale capire come eventuali semplificazioni che conducano a vantaggi strutturali (e che portano ad iterazioni inesatte) influiscano sulla convergenza e sulla velocità del metodo. (III) STUDIO DELLA STABILITA' DI METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI CON RITARDO MEDIANTE L'APPROCCIO DEL RAGGIO SPETTRALE Si intende generalizzare la tecnica già utilizzata nel lavoro [17] per studiare la stabilità dei Theta-metodi applicati all'equazione del pantografo. Più precisamente si intende considerare una più vasta classe di problemi con ritardo illimitato, di cui il ritardo proporzionale è un caso particolare ben noto, ed allargare lo studio ad altre classi di metodi numerici. In primo luogo, si cercherà di caratterizzare la stabilità delle soluzioni esatte di tali equazioni; in letteratura infatti sono disponibili svariate condizioni sufficienti che però, in molti casi, sono lontane dall'essere necessarie. Nel passare allo studio della stabilità dei metodi numerici, al fine di ottenere equazioni alle differenze di ordine costante, e trattabili quindi con l'approccio del raggio spettrale, si utilizzeranno griglie di integrazione particolari, del tipo di quelle "quasi-geometriche" che sono state considerate in [17] per i ritardi proporzionali.
