RICERCA ITALIANA     

Programma di ricerca

Algebre di Operatori e Applicazioni

Università di riferimento

Università Politecnica delle MARCHE - SCIENZE MATEMATICHE - ANCONA(AN)

Responsabile dell'Unità di ricerca

Neculai Sinel TELEMAN

Descrizione

Ci proponiamo di studiare alcuni problemi moderni di analisi globale con possibili implicazioni nella fisica teorica. Lo strumento di base per lo studio di tali problemi sarà costituito dalla geometria non commutativa.

PROBLEMA 1. Ci proponiamo di sviluppare nuove tecniche intese a descrivere in modo più naturale (rigido) il collegamento tra la geometria locale, Riemanniana su varietà differenziabili e le loro proprietà globali.
-A) E. Getzler [G] ha prodotto un metodo di calcolo simbolico per l'operatore di Dirac su varietà Riemanniane con struttura spin.
La sua teoria é basata sul fatto che l'operatore di Dirac é geometricamente, canonicamente definito dalla struttura spin e dalla struttura Riemanniana. Nonostante il fatto che l'esistenza di una struttura spin su una varietà differenziabile richieda l'annulamento di due ostruzioni deboli, é tuttavia vero che non tutte le varietà differenziabili possiedono tali strutture.
Il calcolo simbolico di Getzler é stato usato da lui stesso per produrre una dimostrazione del teorema dell'indice di Atiyah - Singer, una dimostrazione che congiunge rigidamente la struttura locale Riemanniana con le proprietà di analisi globale.
Ulteriormente, il lavoro di Getzler é stato utilizzato da A. Connes e H. Moscovici [CM] nella loro trattazione del teorema locale dell'indice, con l'ulteriore applicazione alla dimostrazione della congettura di Novikov per i gruppi iperbolici.
Intendiamo estendere la teoria del calcolo simbolico di Getzler e della teoria locale dell'indice di Connes-Moscovici nel caso generale delle varietà Riemanniane, rinunciando all'ipotesi dell'esistenza di una struttura spin. A tale scopo, ci proponiamo di sostituire l'operatore di Dirac con l'operatore di segnatura introdotto da A. Connes, D. Sullivan, N. Teleman in [CST]. L'operatore di segnatura che ci proponiamo di costruire sarà rigidamente collegato alla geometria Riemanniana dello spazio tramite la funzione distanza geodetica da essa definita. C'é da sottolineare, inoltre, che l'operatore da noi proposto avrà ulteriormente il vantaggio, rispetto l'operatore di Dirac usato nel lavoro di Connes-Moscovici, che possiede, altresì, una parametrice rigidamente collegata alla geometria locale.
-B) Ci proponiamo di studiare il limite del proiettore quasi-locale P, definito da A. Connes, H. Moscovici [CM], associato all'operatore di segnatura di cui sopra. Qui, si intende il fatto che l'operatore di segnatura costruito avrà un supporto concentrato in un'intorno tubolare della diagonale, di raggio t, dipendente da una funzione di cut-off con supporto nell'intervallo [0,t].
-C) Ci proponiamo di studiare, congiuntamente al Prof. A. Mischenko, la geometria dei fibratti quasi piatti, nozione centrale introdotta nel lavoro di Connes-Moscovici [CM] e Connes-Gromov-Moscovici [CGM], sulla congettura di Novikov. (Infatti, il loro risultato centrale afferma che l'indice dell'operatore di segnatura a valori in un fibratto quasi piatto é invariante all'equivalenza omotopica). A tale scopo, ci proponiamo di utilizzare lo strumento di quasi connessione lineare (vedi punto 2.4-Base di Partenza Internazionale, 3.-iii) introdotto in [T.9]).

PROBLEMA 2. Ci proponiamo di estendere alcuni degli argomenti trattati nel precedente Problema 1. nel caso delle varietà combinatoriche. C'é da specificare il fatto che nel caso delle varietà combinatoriche, intendiamo lavorare con l'operatore di segnatura definito da N. Teleman in [T.5]. Un'attenzione speciale sarà dedicata al problema dell'esistenza del t-limite del corrispondente proiettore P. Questo problema ci sembra particolarmente interessante per le seguenti raggioni. Infatti, da una parte, si sa che l'importanza dell'operatore P consiste nel fatto che esso contiene tutta l'informazione relativa alle classi di Pontrjagin della varietà combinatorica, nonché dell'indice. Dall'altra parte, P essendo un proiettore di supporto arbitrariamente piccolo intorno alla diagonale, il suo limite, se tale limite esistesse, avrebbe le caratteristiche di un fibrato; tale fibrato conterebbe tutta l'informazione sulle classi di Pontrjagin della varietà. E' chiaro che se tale limite esistesse, esso dovrebbe esistere nel senso distribuzionale.
Cosi' come è stato già mostrato in [T.7], la difficoltà dello studio degli invarianti (co)omologici (classi di Pontrjagin) delle varietà combinatoriche risiede nell'impossibilità di effettuare prodotti di distribuzioni del tipo derivate di densità differenziabili, concentrate su simplessi di varie codimensioni, con i metodi dell'analisi classica. Intendiamo approfondire i legami tra i vari metodi per la costruzione delle classi caratteristiche delle varietà combinatoriche [T.5], [T.7].

PROBLEMA 3. Teoremi di localizzazione e micro-localizzazione dell'omologia di Hochschild e ciclica. Ci proponiamo di applicare i precedenti risultati ottenuti da N. Teleman [4][6][8] e J.-P. Brasselet, A. Legrand, N. Teleman [BLT] per lo studio delle varietà singolari.
Studiare collegamenti tra i nostri risultati relativi alla (micro)localizzazione della (co)omologia ciclica ed i relativi risultati di J. Kuntz – Quillen sulla proprietà di escisione.

Per lo svolgimento del programma di ricerca si prevede la collaborazione con ricercatori di fama internazionale dell'unità di ricerca dell'Università di Roma I "La Sapienza", Roma II "Tor Vergata", nonché di altre università italiane e straniere, includendo, altresì, la collaborazione di alcuni dei più qualificati giovani specialisti europei nel campo dell'analisi globale.