RICERCA ITALIANA     

Programma di ricerca

Identità polinomiali e metodi combinatori

Università di riferimento

Università degli Studi di PALERMO - MATEMATICA E APPLICAZIONI - ()

Responsabile dell'Unità di ricerca

Antonino Giambruno

Descrizione

Nell'ambito del progetto di ricerca l'unità di Palermo darà il proprio contributo, grazie alle esperienze maturate in questo settore, come di seguito riportato.
L'obiettivo primario è lo studio, in caratteristica zero, delle identità polinomiali di un'algebra mediante l'uso della teoria delle rappresentazioni del gruppo simmetrico e del gruppo generale lineare. Se V è la varietà generata da un'algebra A, lo spazio dei polinomi multilineari di grado n dell'algebra relativamente libera di V ha una naturale struttura di S_n-modulo; in caratteristica zero il corrispondente carattere e il suo grado sono detti rispettivamente n-esimo cocarattere e n-esima codimensione di A. In quest'ambito cercheremo di dare i seguenti contributi:

1) Successione delle codimensioni, crescita delle varietà

Il valore asintotico della successione delle codimensioni di A, c_n(A), è un importante invariante della varietà V generata da A. Da un ben noto risultato di Regev [Re1], segue che se l'algebra associativa A soddisfa una identità polinomiale non banale la successione delle sue codimensioni è limitata superiormente da una funzione esponenziale. Allo scopo di determinare il comportamento asintotico di tale successione, si definisce la crescita esponenziale della varietà V come il limite superiore della successione {c_n(V)^(1/n)}. Giambruno e Zaicev hanno calcolato tale crescita esponenziale in [GiZa1] e [GiZa2] dimostrando che il limite della successione {c_n(V)^(1/n)} per una varietà propria esiste ed è un intero non negativo. Inoltre hanno fornito un metodo costruttivo per determinare tale crescita.
Alla luce di questo elemento si cercherà di ottenere ulteriori informazioni sulle varietà legate all’esponente. In particolare, dato un T-ideale dell’algebra libera per generatori, si cercherà di determinare l’esponente della varietà associata in alcuni casi notevoli. Questo programma e’ stato iniziato da Berele e Regev in [BeRe2]. Inoltre è stato determinato (vedi [GiZa5]) una uguaglianza asintotica tra la successione delle codimensioni di varietà di questo tipo con specifici generatori (identità standard, identità di Capelli) e la successione delle codimensioni di un’algebra di matrici. Questo studio è stato esteso in [BeSv] allo studio delle varietà determinate dai polinomi di Amitsur corrispondenti a partizioni rettangolari. Tali varietà crescono asintoticamente come le varietà verbalmente prime classificate da Kemer. E’ nostra intenzione in questo progetto estendere questa classificazione alle varietà minimali.
Si ricordi che una varietà V è minimale di esponente d > 1 se V ha esponente d ed ogni sua sottovarietà propria ha esponente strettamente minore di d. Tali varietà sono state classificate in [GiZa3] e [GiZa4]. Elemento essenziale in questa classificazione sono le algebre di matrici triangolari superiori a blocchi. In particolare ogni varietà contiene un’algebra di tale tipo avente lo stesso esponente. Sempre nell’ambito dello studio descritto nel paragrafo precedente, cercheremo di determinare un legame più stretto esistente tra una varietà arbitraria e le varietà minimali aventi lo stesso esponente.

Kemer in [Ke2] ha dato una caratterizzazione delle algebre a crescita delle codimensioni al più polinomiale. In particolare formulazioni equivalenti di tale proprietà sono le seguenti: 1) la successione delle colunghezze è limitata da una costante; 2) l’algebra di Grassmann G e l’algebra UT_2 delle matrici 2x2 triangolari superiori non appartengono alla varietà. In [GiLa] è stata fornita una classificazione esplicita, a meno di PI-equivalenza, di tutte le algebre a crescita delle codimensioni al più lineare (esibendo una lista finita di algebre di dimensione finita che caratterizzano le corrispondenti varietà) e delle algebre la cui successione delle colunghezze è al più 2. In [La] sono state inoltre classificate tutte le sottovarietà di var(G) e di var(UT_2). In questo progetto tenteremo di estendere questi risultati a crescite superiori ed in particolare cercheremo di affrontare una congettura che asserisce che da un opportuno valore della crescita polinomiale (>6?) la lista di algebre caratterizzanti le varietà non è più finita.

Ci sono due ulteriori successioni numeriche di interesse legate alle identità polinomiali di una data algebra: la successione delle codimensioni proprie c_n^p(A) (ottenute considerando prodotti di commutatori di Lie) e delle codimensioni di Lie c_n^L(A) (ottenute considerando la struttura di algebra di Lie di un’algebra associativa mediante il bracket). Tali successioni sono entrambe limitate superiormente dalla successione delle codimensioni ordinarie. In quest’ambito un problema aperto è quello di determinare se i limiti delle successioni {c_n^p(A)^(1/n)} e {c_n^L(A)^(1/n)} esistono e sono interi. E’ facile vedere che il primo limite non esiste nel caso dell’algebra di Grassmann. E’ nostra intenzione affrontare tale problema cercando di risolverlo per algebre finitamente generate ed in generale nel caso delle successioni delle codimensioni proprie.

Nel caso di algebre non necessariamente associative, la teoria delle identità polinomiali è molto più ricca e complessa. Se A è un’algebra di Lie soddisfacente una identità polinomiale e V è la varietà generata da A, V può avere crescita sopraesponenziale e Petrogradsky ha esibito un’intera successione di funzioni sopraesponenziali che rappresentano la crescita delle codimensioni di certe algebre di Lie [Pe]. Tuttavia esistono ampie classi di algebre (di Lie, di Leibniz, etc.) a crescita esponenziale. In [GiMiZa2] è stato costruita per ogni numero reale x maggiore di 1 una varietà a crescita esponenziale uguale ad x. Inoltre si è dimostrato che le algebre di dimensione finita non possono avere crescita intermedia. In quest’ambito poiché Bahturin e Drensky hanno dimostrato che per algebre di dimensione finita la crescita delle codimensioni è limitata esponenzialmente, è nostra intenzione studiare le algebre di dimensione finita cercando di classificare la loro crescita esponenziale (è un intero?). In particolare per algebre di Jordan semplici l’esponente esiste ed uguaglia la dimensione dell’algebra?

2) Superalgebre ed algebre con involuzione

Un interessante raffinamento della teoria delle algebre con identità polinomiali è ottenuto quando l'algebra ha un'ulteriore struttura di superalgebra o di algebra con involuzione *, studiando le corrispondenti superidentita o *-identità. Tale situazione si presenta quando l'algebra data possiede un automorfismo o un antiautomorfismo di ordine 2.
Un importante esempio è l'algebra delle matrici nxn le cui Z_2 graduazioni ed involuzioni sono ben note. Lo studio della successione delle Z_2-codimensioni o delle *-codimensioni per un'algebra siffatta A è stato iniziato in [GiRe]; è stato dimostrato che per un'algebra con identità non banale entrambe tali successioni sono limitate esponenzialmente ed è stato indicato un approccio allo studio delle identità delle superalgebre o delle algebre con involuzione mediante la teoria delle rappresentazioni del gruppo iperottaedrale.
Per le *-varietà che siano generate da un'algebra di dimensione finita, è stato determinato in modo esplicito la loro crescita esponenziale. Tale generalizzazione è stata anche fatta nel caso delle supervarietà che siano generate da una PI-algebra finitamente generata in [BeGiPi]. In entrambi i casi (quello delle *-varietà e quello delle supervarietà) si paragoneranno i nuovi invarianti determinati con quelli classici. Ricordiamo che lo studio di tali invarianti per le supervarietà o per le *-varietà, anche se ha un interesse di per se' intrinseco, è essenzialmente uno strumento utile per una migliore comprensione della situazione classica delle varietà ed è quindi nostro obiettivo determinare i legami esistenti tra di essi. Il passo successivo in quest’ambito è quello di determinare le *-varietà e le supervarietà che siano minimali di esponente assegnato.

Nella descrizione delle varietà di algebre, un risultato fondamentale di Kemer ([Ke1]) asserisce che una varietà propria è generata dall’inviluppo grassmaniano di una superalgebra di dimensione finita. Questo risultato, mettendo in relazione le identità con le superidentità di una superalgebra di dimensione finita, ha permesso di sviluppare la teoria in modo significativo nell’ultimo decennio.
La principale ostruzione nello sviluppo della teoria delle superalgebre è dovuta alla mancanza di un analogo risultato per le supervarietà. E’ nostra intenzione affrontare tale problema cercando di determinare un’algebra generatrice per una supervarietà che sia legata all’algebra di Grassmann e alle algebre Z_2xZ_2-graduate di dimensione finita.

Un altro problema che si intende affrontare è quello di una possibile classificazione delle supervarietà e delle *-varietà che abbiano crescita polinomiale assegnata. Tale studio è stato iniziato in [LaMi] con la classificazione delle *-varietà e delle supervarietà a crescita al più lineare. Tale risultato ha permesso di descrivere esplicitamente le successioni lineari che possono presentarsi come successioni delle supercodimensioni o delle *-codimensioni di un’algebra.

3) Successione dei cocaratteri

Sia A un'algebra associativa su un campo K di caratteristica zero e X_n il corrispondente cocarattere n-esimo. Se si scrive X_n come somma di caratteri irriducibili X_lambda di S_n, l'obiettivo principale è quello di determinare la molteplicità m_lambda di X_lambda in X_n per ogni partizione lambda di n. Questo problema è stato studiato in particolare per l'algebra M_r(K) delle matrici rxr su K, ed è stato completamente risolto nel caso r=2 [Dr]. Benanti ha calcolato, nel caso r=3, tutti i cocaratteri X_lambda per cui m_lambda non è nulla. Tale risultato è stato generalizzato nello studio degli *-cocaratteri di M_3(K), dove * è l'involuzione transposta o simplettica e La Mattina nello studio dei cocaratteri Z_2-graduati di M_2,1(K) (l’algebra delle matrici 3x3 con l’unica Z_2-gradazione non banale). Lo scopo del progetto di ricerca è continuare questo studio nel caso delle matrici 3x3 in modo da ottenere informazioni sui generatori delle identità graduate o con involuzione. Gli spazi di polinomi multilineari in due insiemi di variabili vengono studiati utilizzando la teoria delle rappresentazioni del gruppo iperottaedrale Z_2wrS_n. Il vantaggio di utilizzare tale teoria è dovuto al fatto che lo studio delle tabelle di altezza n è ridotta allo studio delle coppie di tabelle di altezza a e b tali che a+b=n. Tale approccio è stato utilizzato da Valenti in [Va] per calcolare lo Z_2-cocarattere dell’algebra delle matrici 2 x 2 triangolari superiori.
Nell'affrontare il problema della determinazione delle identità delle matrici esiste un terzo approccio fondato sulla combinatoria delle funzioni di Schur che descriveremo qui di seguito. La teoria delle identità traccia sviluppata indipendentemente da Procesi e Razmyslov ([Pr1], [Ra]) è un metodo efficace per lo studio delle identità soddisfatte dall'algebra delle matrici rxr. Da questa teoria e dalla sua "hook" generalizzazione ottenuta da Regev in ([Re2]), segue che il calcolo delle molteplicità m(?) nei cocaratteri traccia per l'algebra delle matrici M_r(K), dove ?= (?1,…, ?k) è una partizione di n con al più r^2 parti non nulle, può essere ricondotto allo studio di prodotti di Kronecker di funzioni di Schur [Rem]. Tale studio è stato recentemente intrapreso da Carini in collaborazione con Remmel, Whitehead e Regev. La forma esplicita delle molteplicità m(?) è nota solo in pochi casi particolari. Per l'algebra delle matrici M_r(K).in [CaRe] gli autori hanno determinato una formula esplicita per le molteplicità m(?) nei cocaratteri traccia, nel caso r=2. Nel caso r=3, Berele, determina un’espressione asintotica per le molteplicità m(?1,?2) nei cocaratteri traccia e Drensky e Genov trovano la forma esplicita della funzione generatrice degli m(?1,?2). In [CCR] , Carbonara, Carini e Remmel determinano, per ogni r, il comportamento degli m(?) con ?2…, ?r fissati e ?1 sufficientemente grande. Si intende dare ulteriori informazioni su tali molteplicità. Si intende inoltre, estendere le ricerche iniziate da Remmel in ([Rem]) nel caso dell'algebra M_1,1(K) al caso dell'algebra M_2,1(K).

Lo studio dell’algebra delle matrici generiche nxn (introdotte da Procesi), è legato alla teoria degli invarianti delle matrici nxn. Si studiano l’algebra Cnd degli invarianti di GLn che agisce mediante simultanea coniugazione su d matrici nxn e l’algebra Tnd delle funzioni invarianti sotto un’opportuna azione di GLn. Generali risultati della teoria degli invarianti di gruppi classici mostrano che l’algebra Cnd è finitamente generata e Tnd è un Cnd –modulo finitamente generato. La teoria delle PI-algebre fornisce un limite superiore per l’insieme dei generatori dell’algebra Cnd e del Cnd-modulo Tnd. Una descrizione delle relazioni di definizione di Cnd è data da Razmyslov-Procesi [Pr1,Ra1]. Espliciti insiemi minimali di generatori per Cnd e Tnd e relative relazioni di definizione sono stati determinati in soli pochi casi. Partendo da un insieme di generatori di C3d determinato da Abeasis e Pittaluga, Benanti e Drensky ([BD1]) hanno determinato il grado minimo dell’insieme delle relazioni di definizione di C3d per ogni d=3 e tutte le relazioni di grado minimo. Gli stessi autori hanno trovato una sottoalgebra polinomiale S di C32, un insieme di generatori di T32 come S-modulo e un insieme di relazioni di definizione di T32 come algebra. Si intende studiare l’algebra C4d , determinare generatori e relazioni di definizione di grado minimo, per ogni d=3.

4) G-gradazioni, unità

Se G e' un gruppo abeliano finito, è ben noto che una G-gradazione su un'algebra A su un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero individua G come gruppo di automorfismi di A e viceversa. Lo studio delle identità G-graduate è quindi ricondotto a quello delle G-identità (identità con automorfismi). Tale studio è stato iniziato in [GiRe]. Lo strumento essenziale è la teoria delle rappresentazioni del prodotto intrecciato G wr S_n. In quest'ambito è anche naturale cercare di determinare anche tutte le possibili graduazioni mediante gruppi abeliani finiti su particolari algebre significative.

Altri ambiti che si intendono sviluppare includono il legame esistente tra le identità polinomiali di un'algebra e le identità gruppali soddisfatte dal gruppo delle sue unità. In particolare, una congettura di Hartley per algebre gruppali KG stabilisce che se il gruppo G è di torsione, K è un campo e il gruppo delle unità di KG soddisfa una identità gruppale, allora l'algebra gruppale KG soddisfa una identità polinomiale. Questa congettura è stata dimostrata su un campo infinito in[GiJeVa] e [GiSehVa1]. E' stato dimostrato che le identità polinomiali soddisfatte sono molto particolari. Riteniamo che in quest’ambito sia possibile ottenere una più ampia classificazione per unità simmetriche rispetto ad una involuzione indotta dal gruppo G. Per algebre ordinarie ben poco è noto. Nel caso in cui A sia un'algebra prima generata dalle sue unità ed U soddisfa un'identità gruppale, una caratterizzazione è stata data in [MaMi]. Continueremo il nostro studio in quest'ambito cercando di estendere questo risultato alle algebre semiprime e, in generale, provando a dare una descrizione delle identità polinomiali che sono conseguenze di una identità gruppale sulle unità.