RICERCA ITALIANA     

Programma di ricerca

Identità polinomiali e metodi combinatori

Università di riferimento

Università degli Studi di BOLOGNA - MATEMATICA - ()

Responsabile dell'Unità di ricerca

Andrea Brini

Descrizione

i) La teoria delle letterplace superalgebre su campi di caratteristica zero, riguardate come bimoduli rispetto all'azione di una coppia di superalgebre di Lie generali lineari, e' una teoria ben sviluppata e generale ed incorpora e semplifica varie teorie classiche, quali ad esempio la teoria delle rappresentazioni dei gruppi generale lineare e simmetrico, la teoria di Berele-Regev sulle azioni del gruppo simmetrico su spazi di tensori Z_2-graduati, e vari aspetti della teoria classica degli invarianti.
Ci si propone di estendere parte della teoria al caso di caratteristica qualsiasi, allo scopo di ottenere versioni universali a meno di filtrazione (composition series) di risultati di decomposizione validi in caratteristica zero.
I sottomoduli irriducibili delle letterplace superalgebre risultano tutti moduli Schur/Weyl (o, moduli "covarianti") e, grazie alla versione superalgebrica del metodo delle variabili virtuali, ammettono una descrizione combinatoria assai efficace. Allo scopo di esplicitare i legami tra la teoria delle letterplace superalgebre e la teoria generale delle rappresentazioni delle superalgebre di Lie
generali lineari (V.Kac, Penkov, Serganova et al.), ci si propone di studiare il legame tra questo tipo di descrizione e la loro descrizione come moduli di Kac (caso "tipico") o quozienti di
moduli di Kac (caso "atipico").

ii) Il tema di trovare versioni algoritmiche del "teorema di finitezza" di Hilbert (generalizzato) e' un tema molto attuale ed e' stato oggetto di molti studi e notevolissimi risultati, basati in grande parte sulla teoria delle basi di Groebner e metodi di geometria
algebrica (cfr., e.g. Sturmlfels, Derksen, Popov).
D'altra parte, algorimi espliciti erano stati trovati da P.Gordan (1868) nel caso delle forme binarie (tensori simmetrici su uno spaziodi dimensione due) usando metodi essenzialmente combinatorici (cfr., e.g. Meyer, Weyman).
Recentemente, l'approccio combinatorio e' stato esteso al caso della generazione di sistemi finiti minimali di generatori per l'algebra degli SL-invarianti di forme n-arie, con n qualsiasi ( A. Brini., F. Regonati, A. Teolis, (2006). Combinatorics, Transvectants and Superalgebras. An elementary combinatorial appoach to Hilbert's Finiteness Theorem. Adv. Appl. Math. vol. 37 (3), pp. 287 - 308) . La strategia si basa sull'estensione del cosiddetto "metodo elettrochimico" di Sylvester per le forme binarie ed ha portato ad uno studio approfondito della combinatoria dei "trasvettanti" nel caso n-ario e del "metodo simbolico".
Ci si propone di sviluppare l'analogo studio per i tensori antisimmetrici e, piu' in generale, esplorare la possibilita' di adattare questi metodi ad altre rappresentazioni razionali di gruppi algebrici linearmente riduttivi.

iii) Il metodo umbrale di Grosshans, Rota e Stein (1987) consiste nel riguadare le algebre di funzioni polinomiali su spazi di tensori simmmetrici/antisimmetrici omogenei come immagini epimorfe di letterplace superalgebre rispetto ad opportuni operatori GL-equivarianti (gli operatori "umbrali", che generalizzano i simboli di Arhonold e il Complex-Symbolik di Weitzenbock). Grazie a questo metodo e' possibile, ad esempio, descrivere efficacemente gli invarianti congiunti di famiglie miste di tensori sia simmmetrici che antisimmetrici.
Il metodo di Grosshans, Rota e Stein e' stato quindi generalizzato al caso di certe algebre pletistiche (algebre super(anti)simmetriche di spazi di tensori supersimmetrici) ottenendo, ad esempio, una descrizione esplicita di tutti i loro sottomoduli irriducibili rispetto all'azione di superalgebre di Lie generali lineari (Brini, Huang, Teolis, Adv. Math. vol.96 (1992), 123-193, Grosshans, Adv. Math. vol.98 (1993), 113-142).
Recentemente, A. Keet (preprint) ha generalizzato il metodo umbrale al caso di algebre di funzioni polinomiali su moduli di Schur-Weyl qualsiasi.
Ci si propone di sviluppare una versione del metodo umbrale che unifichi queste diverse generalizazzioni, allo scopo di ottenere, in primo luogo, descrizioni dei moduli irriducibili di algebre super(anti)simmetriche su moduli Schur-Weyl superalgebrici.

iv) Sia W un gruppo finito di riflessioni che agisce su uno spazio vettoriale di dimensione n. Considerando l'azione duale di W si possono costruire in modo
naturale diverse azioni sull'anello dei polinomi in nk variabili. Siccome tali azioni preservano il multigrado dei polinomi in questione, possiamo considerare le serie di Hilbert delle algebre invarianti e covarianti associate. Ci si propone di studiare tali serie di Hilbert generalizzando i risultati recentemente ottenuti in [Barcelo, Reiner, Stanton, "Bimahonian distributions", preprint] nel caso dell'anello dei polinomi in 2n variabili. Tale generalizzazione
dovrebbe far intervenire la proprietà di Cohen-Macaulay di queste algebre invarianti ed una approfondita analisi della decomposizione in moduli irriducibili del prodotto
tensoriale tra due rappresentazioni irriducibili di un gruppo finito generato da riflessioni. La studio
del caso k=2 di tali problemi utilizza come strumento fondamentale la corrispondenza di Robinson-Schensted (nella versione standard per il gruppo simmetrico e generalizzata per gli altri gruppi di Weyl classici).
Il proposito è di capire meglio la combinatoria delle serie di Hilbert in modo di poter evitare l'uso di tale corrispondenza. Ciò avrebbe il vantaggio di riottenere la corrispondenza di Robinson-
Schensted come conseguenza nel caso bidimensionale e di scoprire una nuova corrispondenza generalizzata nel caso multivariato.
Questo discorso si dovrebbe poter raffinare almeno nel caso dei gruppi di Weyl. Infatti, le componenti omogenee delle algebre covarianti si possono decomporre in somma diretta
di moduli (riducibili) associati a tutti i possibili insiemi di discese del gruppo di Weyl in questione (si vedano [R.Biagioli, F.Caselli, Invariant algebras and major indices for classical Weyl groups,
Proc. London Math. Soc.88 (2004), 603-631] e [R.Adin, F.Brenti, Y.Roichman, Descent Representations and multivariate statistics, Trans. Amer. Math. Soc., 357 (2005), 3051-3082]). Tale decomposizione si può opportunamente riportare a livello degli anelli di polinomi in nk variabili. Si è così portati in modo naturale a considerare un multigrado costituito da $k$ partizioni di lunghezza $n$, nel caso del gruppo simmetrico,e da $k$ opportune coppie di partizioni nei gruppi di tipo B e D. Lo studio delle serie di Hilbert associate a questa particolare gradazione delle algebre in questione dovrebbe dare un ulteriore raffinamento della corrispondenza
di Robinson-Schensted multivariata che si vuole ottenere.

v) In "Produits et Coproduits des Fonctions Quasi Symetriques et de l'Algebre des Descentes" (Publication du Laboratoire de Combinatoire et d'Informatique Mathematique 16, 1994), Malvenuto considera un prodotto e un coprodotto di insiemi parzialmente ordinati, rispetto ai quali si ottiene un'algebra di Hopf, nello spirito di Joni, Rota (Coalgebras and bialgebras in Combinatorics, Stud. Appl. Math. 61, 93-139, 1979) e Schmitt (Incidence Hopf Algebras, Journal of Pure and Applied Algebra 96, 299-330, 1994). Tra gli insiemi parzialmenti ordinati etichettati, vi e' la classe di quelli che provengono da diagrammi di Ferrers di partizioni sghembe, ovvero quelli per i quali le P-partizioni (una generalizzazione delle tabelle di Young ai posets) sono proprio le tabelle di Young. Detti posets formano una sottoalgebra di Hopf. La funzione generatrice di questi posets speciali e' simmetrica (si tratta in realta' della funzione di Schur associata alla partizione). Stanley (in Ordered Structures and Partitions, Memoirs of the American Mathematical Society 119, 1972) congettura che valga il viceversa, ovvero che se la funzione generatrice di un poset P e' simmetrica, allora P necessariamente proviene dal diagramma di Ferrers di una qualche partizione sgemba. Questa congettura e' ancora aperta.

A un altro livello, l'insieme delle estensioni lineari di un poset P
etichettato si puo' pensare come un sottoinsieme di permutazioni delle
etichette. Era noto (Lascoux e Schutzengerger) che se il poset e' quello associato a una partizione sghemba, allora le sue estensioni lineari formano una classe di equivalenza rispetto alla congruenza a placche (cioe se w e' un'estensione lineare del poset, allora anche le permutazioni che si ottengono da w applicando le relazioni di Knuth sono estensioni lineari dello stesso). Malvenuto (in P-Partitions and the Plactic Congruence Graphs and Combinatorics 9, 63-73, 1993) dimostra il viceversa, in analogia con la congettura di Stanley: se l'insieme delle estensioni lineari di un poset etichettato e' chiuso rispetto alle relazioni di Knuth, allora esso proviene necessariamente da quello associato ad una opportuna partizione sghemba.

Ci si propone di studiare e cercare di risolvere la congettura si Stanley, usando la struttura di algebra di Hopf delle funzioni quasi simmetriche. Potrebbe essere utile sfruttare il fatto che l'associazione tra un poset etichettato e la sua funzione generatrice (risp. l'insieme delle sue estensioni lineari) e' un morfismo tra l'algebra di Hopf dei posets e quella delle funzioni quasi simmetriche (risp. l'algebra delle permutazioni di Malvenuto-Reutenauer).

vi) La distribuzione delle discese (o distribuzione Euleriana) sull’insieme delle involuzioni su n oggetti è stata studiata in modo approfondito in tempi recenti da numerosi autori, che hanno esaminato le proprietà combinatorie del polinomio generatore In(x) di tale sequenza. Per esempio, Gessel e Reutenauer hanno dimostrato che i coefficienti di questo polinomio sono simmetrici (Counting permutations with a given cycle structure and descent set, J. Combin. Theory Ser. A, 13 (1972), 135-139), mentre Guo e Zeng hanno provato che tale polinomio è unimodale (The Eulerian distribution on involutions is indeed unimodal, J. Combin. Theory Ser. A 113 (2006), no. 6, 1061-1071). Inoltre, Brenti ha congetturato che il polimonio In(x) sia logaritmicamente concavo (tale congettura contenuta nell’articolo di Dukes Permutation statistics on involutions, European J. Combin. 28 Issue 1 (2007), 186-198).
La nostra attività di ricerca si inserisce in questa tematica da un altro punto di vista. Lo strumento più importante è una formula che esprime il numero in,k di involuzioni con k discese in termini della successione an,s che conta le tabelle semistandard con n caselle e s simboli. Questo approccio fornisce un’ulteriore e più semplice dimostrazione della simmetria dei coefficienti del polinomio In(x) e permette di confutare la congettura di Brenti sulla concavità logaritmica di In(x). I risultati citati sono contenuti in un articolo (M.Barnanei, F.Bonetti, M.Silimbani, The descent statistic on involutions is not log-concave) che è tuttora in stato di revisione.
Il nostro obiettivo è applicare lo stesso approccio alla soluzione di problemi enumerativi riguardanti opportuni sottoinsiemi dell’insieme delle involuzioni: ad esempio, intendiamo studiare la distribuzione Euleriana sulle involuzioni senza punti fissi e sulle involuzioni autoevacuate, ovvero le involuzioni che corrispondono a tabelle di Young standard fisse sotto l’azione della mappa di Schützenberger. Più precisamente, questo approccio fornirà una formula esplicita per il numero j2n,k di involuzioni autoevacuate su 2n oggetti con k discese non appena saremo in grado di esibire un insieme di oggetti combinatori che possa giocare lo stesso ruolo ricoperto dalle tabelle semistandard nel caso generale.

vii) Di recente le noncrossing partitions sono state utilizzate da Speicher (Free probability theory and noncrossing parititions, Sem. Lothar. Combin., B39c, 1997, 38pp.) nell’ambito della quantum probability. E ancora, nello studio della free probabilità il reticolo delle noncrossing partitions gioca un ruolo analogo a quello del reticolo delle partizioni di un insieme nell’espressione dei cumulanti. Due proprietà strutturali di tale reticolo, sembrano avere un ruolo chiave: l’autodualità e l’esistenza di una nozione canonica di tipo per le strutture degli intervalli.
In questo quadro il calcolo umbrale classico si sta rivelando uno strumento efficace di semplificazione computazionale e di chiarificazione concettuale. La locuzione calcolo umbrale classico fa riferimento ad una sintassi introdotta nel 1994 da Rota e Taylor per dare fondamento alle tecniche di calcolo usate da Blissard, Cayley e Sylvester senza alcuna giustificazione formale. A differenza della precedente versione di Roman e Rota del 1978, codificata nel linguaggio delle Algebre di Hopf, quest’ultima fornisce un metodo simbolico assai agile per operare nell’algebra delle serie formali. Le idee di Rota e Taylor sono state sviluppate e precisate in due articoli (vedi Di Nardo, Senato [12], [13]) portando a termine il quadro formale. In [12] attraverso la definizione di un’opportuna ombra si interpreta la teoria dei polinomi di Bell stabilendo identità non facilmente dimostrabili con altri metodi. Dal punto di vista probabilistico si dimostra che tutte e sole le successioni di polinomi di tipo binomiale corrispondono a processi di Poisson composti. In [13] si introducono gli strumenti umbrali necessari allo studio dei cumulanti, dei momenti fattoriali e dei momenti centrali e se ne determinano le espressioni in termini di funzioni umbrali. L’interpretazione umbrale dei cumulanti ha aperto la strada a una teoria generale delle k-statistiche e delle loro generalizzazioni ([14]). Questi stimatori, fino a oggi, erano stati studiati con linguaggi diversi e con metodi non generali o di difficile approccio. Le k-statistiche sono strettamente legate all’algebra delle funzioni simmetriche e ciò ha condotto ad interpretare umbralmente alcune delle basi classiche con risultati sorprendenti dal punto di vista del calcolo dei coefficienti. Proseguendo lungo questa via si intendono applicare i metodi umbrali introdotti in [14] alle funzioni di Schur, semplificando in chiave simbolica alcune delle formule più significative quali la regola di Littlewood-Richardson. Inoltre si intende estendere l’interpretazione della nozione di cumulante presentata in [13] al caso free con l’obbiettivo di studiare la formula di Kerov che esprime certi caratteri del gruppo simmetrico in termini di cumulanti free dei diagrammi di Young associati. Infine si intendono studiare i free cumulants che, attraverso la nozione combinatoria di noncrossing partitions, sono correlati a variabili aleatorie non commutative.

viii) Ci proponiamo di sviluppare applicazioni del calcolo geometrico invariante Grassmann-Clifford alla soluzione di concreti problemi geometrici.
A questo fine, si auspica di ottenere versioni dei prodotti di join, meet e Clifford/geometrico che descrivano le operazioni di intersezione e spazio somma tra due spazi anche quando essi non siano in "posizione generale".
Il nostro punto di partenza sara' l'approfondimento del legame tra algebre di Cayley-Grassmann (nel senso di Rota), algebre di Clifford geometriche (nel senso di Hestenes) e teoria dei covarianti di tensori antisimmetrici; pensiamo di sviluppare una versione del processo di Cliffordizzazione dal punto di vista delle superpolarizzazioni di variabili virtuali.
Una parte preliminare di questo programma e' stata gia' sviluppata, introducendo una generalizzazione superalgebrica della teoria
delle Cayley-Grassmann algebre mediante la nozione di supermodulo di White (Brini, Regonati, Teolis, Grassmann geometric calculus, invariant theory and superalgebras, in "Algebraic Combinatorics and Computer Science", Springer, 2001, pp. 151-196).