RICERCA ITALIANA     

Programma di ricerca

Identità polinomiali e metodi combinatori

Università di riferimento

Università degli Studi di BARI - MATEMATICA - ()

Responsabile dell'Unità di ricerca

Onofrio Mario Di Vincenzo

Descrizione

Il programma di ricerca affronta alcune tematiche riguardanti la teoria delle algebre associative e le identità da esse soddisfatte, in presenza dell'azione di gruppi di (anti)-automorfismi e/o di derivazioni (generalizzate) .
Una parte significativa del programma di ricerca riguarda uno dei temi principali della teoria delle algebre con identità polinomiali, la descrizione degli ideali dell'algebra libera F< X > corrispondenti alle identità polinomiali di una data F- algebra. La descrizione di questi ideali costituisce in generale un problema estremamente difficile. Nel caso ordinario essi sono i cosiddetti T-ideali di F< X >, cioè quelli invarianti sotto l'azione di ogni endomorfismo dell'algebra libera. Nel 1950 Specht congetturò che, sopra un campo di caratteristica zero, ogni T-ideale proprio é finitamente generato come T-ideale. La dimostrazione completa di tale risultato si basa su una descrizione della struttura delle varietà di algebre associative e coinvolge lo studio delle identità polinomiali Z_2 graduate di superalgebre associative ([36],[37]). Tra di esse rientra l'algebra di Grassmann E, generata da uno spazio vettoriale di dimensione infinita sul campo F. In questa descrizione un ruolo decisivo é rivestito dalle algebre di matrici M_n(F), M_n(E) e M_(k,t)(E). Infatti, ogni varietà non banale verbalmente prima é generata da una di tali algebre. Si noti che ciascuna di esse o é semplice e di dimensione finita o é isomorfa all'inviluppo Grassmaniano di una superalgebra semplice di dimensione finita. Più in generale, in caratteristica zero, ogni varietà non banale é generata dall'inviluppo di Grassman di una superalgebra di dimensione finita ([37]). In quest'ambito, acquista particolare significato lo studio delle identità polinomiali graduate soddisfate da una generica superalgebra. Più in generale si possono considerare identità polinomiali per algebre associative graduate da gruppi arbitrari. Si noti che nel caso di gruppi abeliani finiti ogni G-gradazione é equivalente all'azione di un gruppo di automorfismi isomorfo a G.
L'obiettivo principale del programma di ricerca e i compiti propri di questa unità consistono appunto nella descrizione delle identità polinomiali soddisfatte da particolari e significative classi di algebre associative in presenza dell'azione di gruppi o semigruppi di automorfismi o antiautomorfismi.
Verrano prese in esame anche situazioni in cui l'arrichimento della struttura algebrica considerata é dovuta alla presenza di derivazioni. Si studieranno le relative identità polinomiali e si esaminerà la struttura dell'algebre in cui le derivazioni (generalizzate) soddisfano opportune e naturali condizioni.
Un obiettivo specifico del programma di ricerca é lo studio degli ideali dell'algebra libera determinati dalle identità polinomiali Z_2-graduate per una superalgebra o dalle *-identità per le algebre con involuzione. Come detto in precedenza, ciò corrisponde ai casi in cui il gruppo di (anti)-automorfismi che opera sull'agebra considerata é di ordine 2. In entrambi i casi è possibile focalizzare l'attenzione su sottospazi di notevole rilevanza, costituiti dalle componenti della decomposizione graduata per le superalgebre o dai sottospazi degli elementi simmetrici e antisimmetrici per le algebre con involuzione.

In particolare, per tali ideali si vogliono determinare sistemi di polinomi che li generino o come ideali bilateri o come ideali invarianti sotto l'azione di opportuni semigruppi di endomorfismi dell'algebra libera associativa.
Per una descrizione efficace di tali strutture l'unità di ricerca intende sfruttare i metodi combinatori propri della teoria delle rappresentazioni dei gruppi. Infatti, in caratteristica zero, le identità polinomiali (anche nel caso non ordinario) sono determinate da quelle multilineari e su tali spazi operano in modo naturale il gruppo simmetrico e i suoi sottogruppi. Tali azioni sono equivalenti a quelle del gruppo lineare e dei suoi sottogruppi sugli spazi dei polinomi multiomogenei.
L'unità di ricerca si propone di ottenere informazioni sugli invarianti che caratterizzano queste azioni: le successioni delle codimensioni e la sua crescita esponenziale, le successioni dei cocaratteri e le molteplicità delle sue componenti irriducibili, la serie di Hilbert dell'algebra libera della varietà.

In questo ambito, il piano di ricerca é articolato nel modo seguente:
In una prima fase si intende approfondire lo studio della classe di algebre con involuzione introdotte in [18] (O.M. Di Vincenzo, R. La Scala, "Minimal algebras with respect to their *-exponent" Journal of Algebra, 317, 2007 ). Si tratta di sottoalgebre di matrici triangolari a blocchi in cui la riflessione attorno alla diagonale secondaria induce una involuzione. In [18] si congettura che, nel caso di campi di caratteristica zero, tali algebre con involuzione generino tutte e sole le varieta minimali rispetto al valore del proprio *-esponente. Ci proponiamo di ampliare la classe dei casi in cui tale congettura è stata verificata positivamente.
Successivamente verrà esaminata la struttura dell'ideale delle *-identità polinomiali delle superalgebre verbalmente prime M_{p,q}(E). Qui si considera l'involuzione naturale di tale algebra, indotta dall'azione di una coppia di superinvoluzioni definite rispettivamente sulle superalgebre di matrici M_{p+q}(F) ad entrate sul campo F e sull'algebra di Grassmann E.
In particolare ci si propone di determinare i generatori dell'ideale delle *-identità polinomiali e di descrivere la successione dei cocaratteri ad esso associata, almeno in alcuni casi significativi. Si noti che non esiste tuttora una classificazione completa delle involuzioni definite su tali algebre.
In una seconda fase verrà esaminata la struttura dell'ideale delle identità graduate per il prodotto tensoriale di superalgebre verbalmente prime. In particolare, l'unità si propone di utilizzare tale descrizione per cercare di risolvere positivamente una congettura di Regev - Seeman (vedi A.Regev, T. Seeman, "Z_2-graded tensor products of p.i. algebras" Journal of Algebra 291 (2005), no. 1, 274--296).

Parallelamente, si intende approfondire lo studio di identità funzionale (FI) valide in algebre associative. Una identità può essere descritta come una identità che coinvolge elementi dell’anello insieme a funzioni arbitrarie.
Uno degli obiettivi nella teoria delle FI è quello di determinare la natura delle funzioni che compaiono nell'espressione formale della identità funzionale oppure, quando ciò non è possibile, determinare la struttura dell’algebra che ammette la FI in questione. Per inquadrare in modo adeguato questa tematica ed avere una esauriente bibliografia rimandiamo all'articolo di M. Bresar "Functional identities: a survey" (Contemp. Math. 259, 93-109, 2000), al recente testo di M. Bresar, M.A. Chebotar e W.S. Martindale III, "Functional identities, Frontiers in Mathematics" (Birkhauser, 2007) e al testo "Rings with generalized identities" di K.I.Beidar, W.S. Martindale III e A.V. Mikhalev (Pure and Apllied Mathematics 196, Dekker 1996).
Qui ci limitiamo a ricordare che lo studio delle FI in anelli associativi è strettamente connesso a problemi sulle mappe di Lie, per le quali Herstein, già nel 1961, formulò un programma di studi nel caso di anelli associativi primi. Particolari esempi di FI sono quelli in cui:
1) le funzioni considerate sono funzioni polinomiali in indeterminate non commutative. In tal caso ogni identità funzionale identità è di fatto una identità polinomiale generalizzata. Va comunque evidenziato che la teoria delle PI-algebre e quella delle FI-algebre non sono così vicine come può sembrare, in verità esse sono quasi complementari: infatti lo studio delle PI è correlato ad anelli che siano algebre di "dimensione bassa”, mentre la teoria sulle FI fornisce risposte per algebre di dimensione sufficientemente “grande” se non addirittura infinita.
2) le funzioni considerate sono derivazioni (generalizzate). In tal caso l'identità funzionale è una identità differenziale (generalizzata).
Ricordiamo ancora che una mappa additiva F è detta commutante in un sottoinsieme A di un anello R , se F(x)x-xF(x)=0, per ogni x in A. Analogamente essa è centralizzante in A, se F(x)x-xF(x) è contenuto nel centro di R, per ogni x in A.
Il classico risultato di E.C. Posner, (Derivations in prime rings, Proc. Amer. Math. Soc. 8, 1093-1100, 1957), stabilisce che un anello primo con una derivazione centralizzante deve essere commutativo.
Nel 1993 Bresar prova che se F è una mappa additiva commutante in un anello primo allora F(x)=ax+b, per opportuni elementi a,b del centroide dell’anello (Centralizing mappings and derivations in prime rings, J. Algebra 156, 385-394, 1993).
Questo risultato è stato esteso in varie direzioni. In particolare vogliamo focalizzare l’attenzione al caso in cui A è l’insieme delle valutazioni di un polinomio f(x_1,…,x_n) in n variabili non commutanti tra loro.
Se F è una derivazione dell’algebra R e l’insieme S delle valutazioni del polinomio funzionale [F(x),x]_k (per x scelto in A) è contenuto nel centro di R, allora R soddisfa delle esplicite identità polinomiali (T.K. Lee, Derivations with Engel conditions on polynomials, Algebra Coll. 5-1,13-24, 1998).
Successivamente, M.A. Chebotar e P.H. Lee (On certain subgroups of prime rings with derivations, Comm. Algebra 29-7, 3083-3087, 2001) e T.L. Wong (On certain subgroups of semiprime rings with derivations, Comm. Algebra 32-5, 1961-1968, 2004), esaminano in dettaglio il caso in cui l'intero k è 2. Gli autori dimostrano che sotto opportune ipotesi il sottogruppo additivo generato da S (per x in R) contiene un ideale di Lie di R.
Il nostro contributo è stato rivolto allo studio del caso generale in cui A dipende dal polinomio f(x_1, ...x_n). Analizziamo l’annullatore (V.De Filippis, O.M. Di Vincenzo, Posner's second theorem and an annihilator condition. Math. Pannon. 12, 2001, 69--81) e il centralizzante di S in R, provando che entrambi devono essere banali. Inoltre abbiamo dimostrato che se F è una derivazione che si annulla su S allora essa è la mappa nulla sull'intero anello R (V. De Filippis, O.M. Di Vincenzo, Posner's second theorem, multilinear polynomials and vanishing derivations, Journal of Australian Math. Soc. 76, 2004, 357-368).
In quest' ambito una seconda questione è stata quella di estendere il già citato risultato di T.K. Lee (1998) al caso in cui F sia una derivazione generalizzata. I risultati ottenuti sono in conformità ai precedenti: se l’insieme delle valutazioni del polinomio funzionale [F(x),x]_k (per x scelto in A) è contenuto nel centro di R, allora R è una PI-Algebra, oppure F(x)=ax, e a è un elemento del centroide di R (V. De Filippis, Generalized derivations with Engel conditions on polynomials, in corso di stampa su Israel Journal of Math.).

In un primo momento, l’attenzione dell' unità di ricerca sarà rivolta allo studio di identità funzionali che coinvolgano automorfismi e derivazioni generalizzate dell’anello, al fine di ottenere una completa descrizione di queste ultime. Successivamente verrà analizzata la struttura dei sottoanelli e sottogruppi generati da opportuni polinomi funzionali che non siano identità nell’anello. In particolare si vuole osservare in quali casi tali sottoanelli (rispettivamente, sottogruppi) contengano ideali(rispettivamente, ideali di Lie) dell’anello stesso.

L'unità di ricerca intende mantenere i rapporti di collaborazione scientifica con i diversi gruppi di ricerca attivi a livello nazionale ed internazionale in questi ambiti della matematica. Si prefigge anche di organizzare, in collaborazione con le altre unità componenti il progetto nazionale, un workshop per la presentazione dei risultati ottenuti.